*वर्ग संख्या ट्रिक्स*
41 ते 50 पर्यंतच्या संख्यांचे वर्ग :
41 चा वर्ग = 16 81
42 चा वर्ग = 17 64
43 चा वर्ग = 18 49
44 चा वर्ग = 19 36
45 चा वर्ग = 20 25
46 चा वर्ग = 21 16
47 चा वर्ग = 22 09
48 चा वर्ग = 23 04
49 चा वर्ग = 24 01
50 चा वर्ग = 25 00
वर्ग संख्यांच्या मांडणीकडे नीट लक्ष द्या
16,17,18,19,20,21,22,23,24,25 अशी चढत्या क्रमाची मांडणी तयार झालेली आहे, ती पहा. त्याचबरोबर
81,64,49,36,25,16,09,04,01,00 अशी उतरत्या क्रमाची 9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 यांच्या वर्गाची मांडणी तयार झालेली आहे.
वरील दोन्ही मांडण्यांचा परस्पर संबंध ध्यानात ठेवणे सहज शक्य आहे.
51 ते 60 पर्यंतच्या संख्यांचे वर्ग :
सोपी रीत
51 ते 60 पर्यंतच्या संख्यांचे वर्ग ध्यानात ठेवणे हा लेख वाचल्यानंतर सहज शक्य आहे.येथे केलेली मांडणी व थोडीशी स्मरणशक्ती वापरल्यास आपण कायमस्वरुपी 51 ते 60 चे वर्ग ध्यानात ठेवू शकतो व हवे तेव्हा आठवू शकतो.
51 चा वर्ग = 26 01
52 चा वर्ग = 27 04
53 चा वर्ग = 28 09
54 चा वर्ग = 29 16
55 चा वर्ग = 30 25
56 चा वर्ग = 31 36
57 चा वर्ग = 32 49
58 चा वर्ग = 33 64
59 चा वर्ग = 34 81
60 चा वर्ग = 36 00 (3500+100)
वरील मांडणीकडे लक्षपूर्वक पहा.
51 ते 59 च्या वर्गसंख्यांच्या मांडणीमद्ये 26,27,28,29,30,31,32,33,34 अशी क्रमवार चढती मांडणी तयार झालेली दिसते.त्याचबरोबर 01,04,09,16,25,36,49,64,81 अशी क्रमवार 1 ते 9 यांच्या वर्गाची चढती मांडणी दिसून येते.
60 च्या वर्गामद्ये क्रमवार पुढील साख्या 35 व क्रमवार पुढील 10 चा वर्ग 100 यांची बेरीज (3500+100= 36 00) अशी रचना तयार होते.
तसेच
91 चा वर्ग 82 81
92 चा वर्ग 84 64
93 चा वर्ग 86 49
94 चा वर्ग 88 36
95 चा वर्ग 90 25
96 चा वर्ग 92 16
97 चा वर्ग 94 09
98 चा वर्ग 96 04
99 चा वर्ग 98 01
100 चा वर्ग 100 00
अश्याप्रकारे आणखी निरीक्षणातून सोप्या ट्रिक्स तयार करू शकतात .
*गणित : महत्त्वाची सूत्रे.*
मूळ संख्या- फक्त त्याच संख्येने किंवा १ नेपूर्ण भाग जाणारी संख्या,
सम संख्या - २ ने पूर्ण भाग जाणारी संख्या,
विषम संख्या - २ ने भाग न जाणारी संख्या,
जोडमूळ संख्या- ज्या दोन मूळ संख्यांत केवळ२ चा फरक असतो,
संयुक्त संख्या - मूळसंख्या नसलेल्या नैसर्गिकसंख्या.
*संख्यांचे प्राथमिक क्रियाविषयक नियम*
A)समसंख्या + समसंख्या= समसंख्या.
B)समसंख्या - समसंख्या= समसंख्या.
C)विषमसंख्या - विषमसंख्या = समसंख्या.
D)विषमसंख्या + विषमसंख्या= समसंख्या
E)समसंख्या × समसंख्या = समसंख्या.
F)समसंख्या × विषम संख्या = समसंख्या.
G)विषमसंख्या × विषमसंख्या= विषमसंख्या.
एक अंकी एकूण संख्या ९ आहेत तर दोन अंकी ९०,तीन अंकी ९०० आणि चार अंकी एकूण संख्या ९००० आहेत.
० ते १०० पर्यंतच्या संख्यांत-
।) २ पासून ९ पर्यंतचेअंक प्रत्येकी २० वेळा येतात.
।।) १ हा अंक २१ वेळा येतो.
।।।) ० हा अंक ११ वेळा येतो.
१ ते १०० पर्यंतच्या संख्यांत-
।) २ पासून ९ पर्यंतचे अंक असलेल्या एकूणसंख्या प्रत्येकी १९ येतात.
।।) दोन अंकी संख्यात १ ते ९ या अंकांच्याप्रत्येकी १८ संख्या असतात.
दोन अंकांमधून एकूण २ संख्या,तीन अंकांमधून एकूण ६ संख्या,चार अंकांमधून एकूण २४ संख्या व पाच अंकांमधून एकूण १२० संख्या तयार होतात.
*विभाज्यतेच्या कसोटय़ा*
A)२ ने नि:शेष भाग जाणारी संख्या -संख्येच्या एककस्थानी ०, २, ४, ६, ८ यापैकीकोणताही अंक असल्यास.
*B)३ ची कसोटी*-संख्येच्या सर्व अंकांच्या बेरजेला ३ ने नि:शेषभाग जात असल्यास.
*C)४ ची कसोटी*-संख्येच्या शेवटच्या २ अंकांनी तयार होणाऱ्यासंख्येला ४ ने नि:शेष भाग जात असल्यासअथवा संख्येच्या शेवटी कमीतकमी दोन शून्यअसल्यास.
D)५ ची कसोटी-संख्येच्या एकक स्थानचा अंक जर ० किंवा ५असल्यास.
*E)६ ची कसोटी*-ज्या संख्येला २ व ३ या अंकांनी नि:शेष भागजातो त्या संख्यांना ६ ने नि:शेष भाग जातोचकिंवा ज्या सम संख्येच्या अंकांच्या बेरजेला ३ने भाग जातो त्या संख्येला ६ ने निश्चित भाग जातो.
*F)७ ची कसोटी*-संख्येतील शेवटच्या ३ अंकांनी तयारहोणाऱ्या संख्येतून डावीकडील उरलेल्याअंकांनी तयार झालेली संख्या वजा करूनआलेल्या संख्येस ७ ने नि:शेष भाग गेल्यास त्यासंख्येला ७ ने नि:शेष भाग जातो.
*G)८ ची कसोटी*-संख्येतील शेवटच्या तीन अंकांनीतयार होणाऱ्या संख्येला ८ ने निशेषभाग जातअसल्यास किंवा संख्येत शेवटी कमीतकमी ३शून्य असल्यास त्या संख्येला ८ ने निशेष भाग जातो किंवा ज्या संख्येच्या शतकस्थानी २ हा अंकअसतो व जिच्या अखेरच्या दोन अंकी संख्येला ८ने भाग जातो त्या संख्येला ८ ने भाग जातो.
*H)९ ची कसोटी*-संख्येतील सर्व अंकांच्या बेरजेला९ ने निशेषभाग जातो.
*I)११ ची कसोटी*-ज्या संख्येच्या विषम स्थानच्याया समस्थानच्या अंकांची बेरीज अथवा ११च्यापटीत असल्यास त्या संख्येला ११ ने निशेष भागजातो. एक सोडून १ अंकांची बेरीज समान असते किंवा फरक ० किंवा ११ च्या पटीत असतो.
*J)१२ ची कसोटी*-ज्या संख्येला ३ व ४या अंकांनी निशेष भाग जातो त्या संख्येला १२ ने भाग जातो.
*K)१५ ची कसोटी*-ज्या संख्येला ३ व ५ अंकानी निशेष भाग जातोत्या संख्येला १५ ने भाग जातो.
*L)३६ ची कसोटी*-ज्या संख्येला ९ व ४ ने निशेष भाग जातो त्या संख्येला ३६ ने भाग जातो.
*M)७२ ची कसोटी*-ज्या संख्येला ९ व ८ ने निशेषभाग जातो त्या संख्येला ७२ ने भाग जातो.
*लसावि* - लघुत्तम सामाईक विभाज्य संख्या:
दिलेल्या संख्यांनी ज्या लहानात लहानसंख्येला पूर्ण भाग जातो ती संख्या
*मसावि* - महत्तम सामाईक विभाजक संख्या:
दिलेल्या संख्यांना ज्या मोठय़ात मोठय़ा संख्येने(विभाजकाने) भाग जातो ती संख्या
*प्रमाण भागिदारी*
A)नफ्यांचे गुणोत्तर= भांडवलांचे गुणोत्तर ×मुदतीचे गुणोत्तर,
B)भांडवलांचे गुणोत्तर= नफ्यांचे गुणोत्तर+मुदतीचे गुणोत्तर,
C)मुदतीचे गुणोत्तर = नफ्यांचे गुणोत्तर ÷ भांडवलाचे गुणोत्तर.
*गाडीचा वेग-वेळ-अंतर*
A) खांब ओलांडण्यास गाडीला लागणारा वेळ =गाडीची लांबी ÷ ताशी वेग × १८/५
B) पूल ओलांडताना गाडीला लागणारा वेळ =गाडीची लांबी + पुलाची लांबी ÷ताशी वेग × १८/५
C) गाडीचा ताशी वेग=कापावयाचे एकूण अंतर ÷ लागणारा वेळ ×१८/५
D) गाडीची लांबी=ताशी वेग × खांब ओलांडताना लागणारावेळ × ५/१८
E) गाडीची लांबी + पुलाची लांबी = ताशी वेग× पूल ओलांडताना लागणारा वेळ + ५/१८
F) गाडीचा ताशी वेग व लागणारा वेळ काढताना १८/५ ने गुणा व अंतर काढताना ५/१८ ने गुणा
G) पाण्याच्या प्रवाहाचा ताशी वेग=नावेचा प्रवाहाच्या दिशेने ताशी वेग - प्रवाहाच्याविरुद्ध दिशेने ताशी वेग ÷ २
*सरासरी*
A) X संख्यांची सरासरी= दिलेल्या संख्येची बेरीजभागिले X
B) क्रमश:संख्याची सरासरी ही मधली संख्या असते.
C) X संख्यामान दिल्यावर ठराविकसंख्यांची सरासरी =(पहिली संख्या+शेवटची संख्या) ÷ X
D) X या क्रमश: संख्याची बेरीज =(पहिली संख्या + शेवटची संख्या) ×X÷ २
*सरळव्याज*
A)सरळव्याज=मुद्दल × व्याजदर × मुदत ÷१००
B)मुद्दल=सरळव्याज × १०० ÷ व्याजदर × मुदत
C)व्याजदर =सरळव्याज × १०० ÷ मुद्दल × मुदत
D)मुदत वर्षे=सरळव्याज×१००÷ मुद्दल×व्याजदर=>
41 ते 50 पर्यंतच्या संख्यांचे वर्ग :
41 चा वर्ग = 16 81
42 चा वर्ग = 17 64
43 चा वर्ग = 18 49
44 चा वर्ग = 19 36
45 चा वर्ग = 20 25
46 चा वर्ग = 21 16
47 चा वर्ग = 22 09
48 चा वर्ग = 23 04
49 चा वर्ग = 24 01
50 चा वर्ग = 25 00
वर्ग संख्यांच्या मांडणीकडे नीट लक्ष द्या
16,17,18,19,20,21,22,23,24,25 अशी चढत्या क्रमाची मांडणी तयार झालेली आहे, ती पहा. त्याचबरोबर
81,64,49,36,25,16,09,04,01,00 अशी उतरत्या क्रमाची 9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 यांच्या वर्गाची मांडणी तयार झालेली आहे.
वरील दोन्ही मांडण्यांचा परस्पर संबंध ध्यानात ठेवणे सहज शक्य आहे.
51 ते 60 पर्यंतच्या संख्यांचे वर्ग :
सोपी रीत
51 ते 60 पर्यंतच्या संख्यांचे वर्ग ध्यानात ठेवणे हा लेख वाचल्यानंतर सहज शक्य आहे.येथे केलेली मांडणी व थोडीशी स्मरणशक्ती वापरल्यास आपण कायमस्वरुपी 51 ते 60 चे वर्ग ध्यानात ठेवू शकतो व हवे तेव्हा आठवू शकतो.
51 चा वर्ग = 26 01
52 चा वर्ग = 27 04
53 चा वर्ग = 28 09
54 चा वर्ग = 29 16
55 चा वर्ग = 30 25
56 चा वर्ग = 31 36
57 चा वर्ग = 32 49
58 चा वर्ग = 33 64
59 चा वर्ग = 34 81
60 चा वर्ग = 36 00 (3500+100)
वरील मांडणीकडे लक्षपूर्वक पहा.
51 ते 59 च्या वर्गसंख्यांच्या मांडणीमद्ये 26,27,28,29,30,31,32,33,34 अशी क्रमवार चढती मांडणी तयार झालेली दिसते.त्याचबरोबर 01,04,09,16,25,36,49,64,81 अशी क्रमवार 1 ते 9 यांच्या वर्गाची चढती मांडणी दिसून येते.
60 च्या वर्गामद्ये क्रमवार पुढील साख्या 35 व क्रमवार पुढील 10 चा वर्ग 100 यांची बेरीज (3500+100= 36 00) अशी रचना तयार होते.
तसेच
91 चा वर्ग 82 81
92 चा वर्ग 84 64
93 चा वर्ग 86 49
94 चा वर्ग 88 36
95 चा वर्ग 90 25
96 चा वर्ग 92 16
97 चा वर्ग 94 09
98 चा वर्ग 96 04
99 चा वर्ग 98 01
100 चा वर्ग 100 00
अश्याप्रकारे आणखी निरीक्षणातून सोप्या ट्रिक्स तयार करू शकतात .
*गणित : महत्त्वाची सूत्रे.*
मूळ संख्या- फक्त त्याच संख्येने किंवा १ नेपूर्ण भाग जाणारी संख्या,
सम संख्या - २ ने पूर्ण भाग जाणारी संख्या,
विषम संख्या - २ ने भाग न जाणारी संख्या,
जोडमूळ संख्या- ज्या दोन मूळ संख्यांत केवळ२ चा फरक असतो,
संयुक्त संख्या - मूळसंख्या नसलेल्या नैसर्गिकसंख्या.
*संख्यांचे प्राथमिक क्रियाविषयक नियम*
A)समसंख्या + समसंख्या= समसंख्या.
B)समसंख्या - समसंख्या= समसंख्या.
C)विषमसंख्या - विषमसंख्या = समसंख्या.
D)विषमसंख्या + विषमसंख्या= समसंख्या
E)समसंख्या × समसंख्या = समसंख्या.
F)समसंख्या × विषम संख्या = समसंख्या.
G)विषमसंख्या × विषमसंख्या= विषमसंख्या.
एक अंकी एकूण संख्या ९ आहेत तर दोन अंकी ९०,तीन अंकी ९०० आणि चार अंकी एकूण संख्या ९००० आहेत.
० ते १०० पर्यंतच्या संख्यांत-
।) २ पासून ९ पर्यंतचेअंक प्रत्येकी २० वेळा येतात.
।।) १ हा अंक २१ वेळा येतो.
।।।) ० हा अंक ११ वेळा येतो.
१ ते १०० पर्यंतच्या संख्यांत-
।) २ पासून ९ पर्यंतचे अंक असलेल्या एकूणसंख्या प्रत्येकी १९ येतात.
।।) दोन अंकी संख्यात १ ते ९ या अंकांच्याप्रत्येकी १८ संख्या असतात.
दोन अंकांमधून एकूण २ संख्या,तीन अंकांमधून एकूण ६ संख्या,चार अंकांमधून एकूण २४ संख्या व पाच अंकांमधून एकूण १२० संख्या तयार होतात.
*विभाज्यतेच्या कसोटय़ा*
A)२ ने नि:शेष भाग जाणारी संख्या -संख्येच्या एककस्थानी ०, २, ४, ६, ८ यापैकीकोणताही अंक असल्यास.
*B)३ ची कसोटी*-संख्येच्या सर्व अंकांच्या बेरजेला ३ ने नि:शेषभाग जात असल्यास.
*C)४ ची कसोटी*-संख्येच्या शेवटच्या २ अंकांनी तयार होणाऱ्यासंख्येला ४ ने नि:शेष भाग जात असल्यासअथवा संख्येच्या शेवटी कमीतकमी दोन शून्यअसल्यास.
D)५ ची कसोटी-संख्येच्या एकक स्थानचा अंक जर ० किंवा ५असल्यास.
*E)६ ची कसोटी*-ज्या संख्येला २ व ३ या अंकांनी नि:शेष भागजातो त्या संख्यांना ६ ने नि:शेष भाग जातोचकिंवा ज्या सम संख्येच्या अंकांच्या बेरजेला ३ने भाग जातो त्या संख्येला ६ ने निश्चित भाग जातो.
*F)७ ची कसोटी*-संख्येतील शेवटच्या ३ अंकांनी तयारहोणाऱ्या संख्येतून डावीकडील उरलेल्याअंकांनी तयार झालेली संख्या वजा करूनआलेल्या संख्येस ७ ने नि:शेष भाग गेल्यास त्यासंख्येला ७ ने नि:शेष भाग जातो.
*G)८ ची कसोटी*-संख्येतील शेवटच्या तीन अंकांनीतयार होणाऱ्या संख्येला ८ ने निशेषभाग जातअसल्यास किंवा संख्येत शेवटी कमीतकमी ३शून्य असल्यास त्या संख्येला ८ ने निशेष भाग जातो किंवा ज्या संख्येच्या शतकस्थानी २ हा अंकअसतो व जिच्या अखेरच्या दोन अंकी संख्येला ८ने भाग जातो त्या संख्येला ८ ने भाग जातो.
*H)९ ची कसोटी*-संख्येतील सर्व अंकांच्या बेरजेला९ ने निशेषभाग जातो.
*I)११ ची कसोटी*-ज्या संख्येच्या विषम स्थानच्याया समस्थानच्या अंकांची बेरीज अथवा ११च्यापटीत असल्यास त्या संख्येला ११ ने निशेष भागजातो. एक सोडून १ अंकांची बेरीज समान असते किंवा फरक ० किंवा ११ च्या पटीत असतो.
*J)१२ ची कसोटी*-ज्या संख्येला ३ व ४या अंकांनी निशेष भाग जातो त्या संख्येला १२ ने भाग जातो.
*K)१५ ची कसोटी*-ज्या संख्येला ३ व ५ अंकानी निशेष भाग जातोत्या संख्येला १५ ने भाग जातो.
*L)३६ ची कसोटी*-ज्या संख्येला ९ व ४ ने निशेष भाग जातो त्या संख्येला ३६ ने भाग जातो.
*M)७२ ची कसोटी*-ज्या संख्येला ९ व ८ ने निशेषभाग जातो त्या संख्येला ७२ ने भाग जातो.
*लसावि* - लघुत्तम सामाईक विभाज्य संख्या:
दिलेल्या संख्यांनी ज्या लहानात लहानसंख्येला पूर्ण भाग जातो ती संख्या
*मसावि* - महत्तम सामाईक विभाजक संख्या:
दिलेल्या संख्यांना ज्या मोठय़ात मोठय़ा संख्येने(विभाजकाने) भाग जातो ती संख्या
*प्रमाण भागिदारी*
A)नफ्यांचे गुणोत्तर= भांडवलांचे गुणोत्तर ×मुदतीचे गुणोत्तर,
B)भांडवलांचे गुणोत्तर= नफ्यांचे गुणोत्तर+मुदतीचे गुणोत्तर,
C)मुदतीचे गुणोत्तर = नफ्यांचे गुणोत्तर ÷ भांडवलाचे गुणोत्तर.
*गाडीचा वेग-वेळ-अंतर*
A) खांब ओलांडण्यास गाडीला लागणारा वेळ =गाडीची लांबी ÷ ताशी वेग × १८/५
B) पूल ओलांडताना गाडीला लागणारा वेळ =गाडीची लांबी + पुलाची लांबी ÷ताशी वेग × १८/५
C) गाडीचा ताशी वेग=कापावयाचे एकूण अंतर ÷ लागणारा वेळ ×१८/५
D) गाडीची लांबी=ताशी वेग × खांब ओलांडताना लागणारावेळ × ५/१८
E) गाडीची लांबी + पुलाची लांबी = ताशी वेग× पूल ओलांडताना लागणारा वेळ + ५/१८
F) गाडीचा ताशी वेग व लागणारा वेळ काढताना १८/५ ने गुणा व अंतर काढताना ५/१८ ने गुणा
G) पाण्याच्या प्रवाहाचा ताशी वेग=नावेचा प्रवाहाच्या दिशेने ताशी वेग - प्रवाहाच्याविरुद्ध दिशेने ताशी वेग ÷ २
*सरासरी*
A) X संख्यांची सरासरी= दिलेल्या संख्येची बेरीजभागिले X
B) क्रमश:संख्याची सरासरी ही मधली संख्या असते.
C) X संख्यामान दिल्यावर ठराविकसंख्यांची सरासरी =(पहिली संख्या+शेवटची संख्या) ÷ X
D) X या क्रमश: संख्याची बेरीज =(पहिली संख्या + शेवटची संख्या) ×X÷ २
*सरळव्याज*
A)सरळव्याज=मुद्दल × व्याजदर × मुदत ÷१००
B)मुद्दल=सरळव्याज × १०० ÷ व्याजदर × मुदत
C)व्याजदर =सरळव्याज × १०० ÷ मुद्दल × मुदत
D)मुदत वर्षे=सरळव्याज×१००÷ मुद्दल×व्याजदर=>
( संकलन )
